NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan  yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

CONTOH : 

Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛, persamaan

𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 dapat dituliskan kembali menjadi

𝐴𝒙 = 𝜆𝐼𝒙

𝐴𝒙 − 𝜆𝐼𝒙 = 𝟎

 𝐴 − 𝜆𝐼 𝒙 = 𝟎

   Agar 𝜆 dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat satu solusi taknol dari persamaan ini. Persamaan ini memiliki solusi taknol jika dan hanya jika

                                           det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

   Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks 𝐴; skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴. Persamaan karakteristik di atas juga bisa dituliskan:

                                           det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0

   Apabila diperluas lagi, det(𝐴 − 𝜆𝐼) atau det(𝜆𝐼 − 𝐴) adalah sebuah polinomial 𝑝

dalam variabel 𝜆 yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari matriks 𝐴.