Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :
a.x = b
dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.
Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R = V
Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :
a 1x + a2 y = b
Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.
Secara umum persamaan linear dalam n peubah x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn = b
dengan a1, a2, a3,……………..an dan b merupakan konstanta bilangan riil
contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :
- a. X + 3y = 7
- b. X + 3 y2 = 7
- c. 3x + 2y - z + xz = 4
- d. Y = ½ x + 3z + 1
- e. Y – sin x = 0
- f. + 2x2 ++ x3 =1
Jawab:
Persamaan a dan d termasuk persamaan linear
Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2
Persamaan c bukan persamaan linear karema melibatkan perkalian peubah
Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri
Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah
B. sistem Persamaan Linear
Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2,x3……..xn dinamakan system persamaan linear atau system linear
Contoh :
4x1 – x2 + 3x3 =-1
3x1 + x2 + 9x3 = -4
X1 2x2 -3x3 =3
X – y =2
X + 2y = 5
Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.
Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:
X -2y = 8
3x +y = 3
x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1
X -2y = 8
3x +y = 3
x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1
Jawab:
a. X -2y = 8
3x +y = 3
Untuk memecahkan SPL tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :
Jadi himpunan penyelesaian/pemecahannya adalah HP = {(2, -3)}
X1 + 2x2 – x3 = 3…………………………………… i
2x1 – x2 + 3x3 = -4………………………………….. ii
3x1 + x2 + x3 = 1…………………………………… iii
Untuk memecahkan SPL terdebut digunakan cara eleminasi dari persamaan (1) dan (2) :
Untuk x3 = -2 : 5x2 –5x3 = 10
5x2 –5(-2) = 10
5x2 + 10 = 10
X2 = 0
Untuk x2 = 0 dan X3 = -2 , maka dari persamaan I didapat:
X1 +2x2 –x3 =3
X1 = 3 - 2x2 + x3
X1 = 3 – 2(0) + (-2)
X1 = 1
Jadi himppunan pemecahannya adalah : X1 = 1, X2 = 0, X3 = -2
Sistem persamaan linear
Suatu sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu:
1. Sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan
2. Sistem persamaan linear mempunyai tak hingga pemecahan
3. Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu pemecahan
Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tidak konsisten atau inkonsisten
Sedangkan SPL yang mempunyai minimal satu pemecahan dinamakan konsisten.
Sebagai ilustrasi kita ambil SPL sebagai berikut:
a 1x + b1y = c1
a 2x + b2y = c2
kedua persamaan tersebut berupa garis lurusyang jika digambarkan ada terdapat 3 kemungkinan
yaitu:
a. Garis l1 // l2 sehingga tidak ada perpotongan garis atau tidak ada titik yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti system tidak mempunyai pemecahan
b. Garis l1 berpotongan dengan garis l2 di satu titik gerarti system mempunayai tepat satu pemmecahan
c. garis l1 berimpit l2 , sehingga terdapat tak hingga banyaknya pemecahan yang memenuhi kedua persamaan. Berarti system mempunyai tak hingga banyak pemecahan
contoh: bila manakah system: a 1x + b1y = c1
a 2x + b2y = c2
mempunyai satu pemecahan , tak hinga banyak pemecahan dan tak punya pemecahan? Berikan contohnya
jawab:system persamaan linear berbentuk :
a 1x + b1y = c1
a 2x + b2y = c2
a. mempunyai satu pemecahan bila : a 1/ a2 ≠ b1 / b2 (disebut konsisten)
contoh: 2 x + 3 y = 8
x – 2 y = -3
a. mempunyai tak hingga banyak pemecahan bila : a1 /a2 = b1/b2 =c1/c2
contoh:
-x +2y =-3
3x -6y =9
Persamaan 3x -6y =9 jika kita bagi dengan -3 maka akan diperoleh -x +2y =-3 yang tidak lain merupakan persamaaan yang pertama. Dan pada gambar ditunjukan bahwa kedua garis ini berimpit sehingga solusi SPL tersebut adalah HP = (-~ , ~) £ riil
a. tidak mempunyai pemecahan jika : a1 /a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
contoh: 2x – 3y = -6
4x – 6y = 12
Gambar
Komentar